tokenpocket安装官网下载|质数分布规律
作者： tokenpocket安装官网下载
2024-03-17 08:52:15
质数分布有没有规律？ - 知乎
质数分布有没有规律？ - 知乎首页知乎知学堂发现等你来答切换模式登录/注册数学数论素数解析数论素数定理质数分布有没有规律？哪位大神能谈谈质数有啥分布规律。像费马平方和定理算不算一个质数分布规律。显示全部 关注者98被浏览190,325关注问题写回答邀请回答好问题 910 条评论分享40 个回答默认排序TravorLZH数学话题下的优秀答主 关注规律必然是有的，而且素数分布问题一直位于数学研究的前沿。若用log表示自然对数、π(x)表示不超过x的素数之数量，则根据素数定理有：\lim_{x\to\infty}{\pi(x)\log x\over x}=1 现在对两侧取对数，得：\lim_{x\to\infty}{\log\pi(x)+\log\log x-\log x}=0 现在对两侧同时除以log x，得：\lim_{x\to\infty}{\log\pi(x)\over\log x}=1 现在再根据素数定理，可得：1=\lim_{x\to\infty}{\log\pi(x)\over\log x}\cdot\lim_{x\to\infty}{\pi(x)\log x\over x}=\lim_{x\to\infty}{\pi(x)\log\pi(x)\over x} 现在用 p_n 表示第n个素数，则由定义可知 \pi(p_n)=n 。由于有无穷个素数，我们也知道 \lim_{n\to\infty}p_n=\infty 。所以我们现在可以根据海涅定理，把上述函数极限改成数列极限，即：\lim_{n\to\infty}{n\log n\over p_n}=1 所以第n个素数的大小渐近于 n\log n 。换句话说，对于每一个 \varepsilon>0 均存在足够大的N使得第n>N个素数的大小满足如下不等式：(1-\varepsilon)n\log n 百度安全验证 网络不给力，请稍后重试 返回首页 问题反馈 走近黎曼猜想（二）:质数的分布有什么规律？|高斯|素数|自然数_网易订阅 网易首页 应用 网易新闻 网易公开课 网易高考智愿 网易红彩 网易严选 邮箱大师 网易云课堂 快速导航 新闻 国内 国际 评论 军事 王三三 体育 NBA CBA 综合 中超 国际足球 英超 西甲 意甲 娱乐 明星 图片 电影 电视 音乐 稿事编辑部 娱乐FOCUS 财经 股票 行情 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有许许多多关于质数的猜想，例如以前介绍过的哥德巴赫猜想、费马数猜想等等，有些经过了数百年的时间才被人证明，有些直到现在还没有被证明。正因为质数如此迷人和复杂，目前人们还没有完全掌握质数的规律，所以人们才把质数作为密码学的基础。那么，质数到底有多少个呢？它的分布有什么规律吗？人们对质数的研究已经有了哪些成果呢？质数有多少个？我们很容易通过计算写出前几个质数，它们是：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37…那么，如果我们就这样写下去，能够把质数都写穷尽吗？如果质数可以穷尽，那么关于质数的许多猜想就变得容易了许多。遗憾的是，在古希腊时代，人们就已经认识到质数有无穷多个了，这要归功于数学家、几何学的创立者欧几里得。欧几里得通过反证法证明了质数有无穷多个。所谓反证法，就是假设一个命题不成立，再通过演绎的方法推理出两个相互矛盾的结论，从而证明该命题。欧几里得的思路是：假设质数的个数是有限个，分别是2、3、5、7、….、p,其中p是最大的质数，那么可以令数字q等于所有质数的乘积与1的和，即这个数字q是质数还是合数呢？（1）如果这个数字q是质数，那么q是一个比p大的质数，与p是最大的质数矛盾，所以q不是质数。（2）如果这个数字q是合数，那么它必然有除了1和它本身以外其他的约数，或者说它可以进行质因数分解，也就是把它写作一堆质数的乘积：这里的m都是质数，叫做q的质因子。由于所有的质数都被我们找到了，因此每一个m只能在2、3、5、7、…、p中取值。可是，根据q的计算方法可知：也就是说q-1是2、3、5、7、…、p这些质数的整数倍，q除以2、3、5、7、…、p中的任何一个数字都会有余数1，因此q不可能有任何一个质数因子，这与q是合数矛盾，q不可能是合数。所以，q既不是质数也不是合数，二者发生了矛盾。矛盾的起源在于我们假设质数是有限个，所以质数不可能是有限个，质数有无穷多个，真是一个漂亮的证法！如何寻找质数？虽然质数有无穷多个，但是人们依然希望知道如何快速判断一个数是质数还是合数。古希腊的埃拉托色尼（我们之前谈到过，就是那个测量出地球半径的人）给出了一种制作质数表的方法：筛选法。他的思路是：要找到一个小于某自然数n的全部质数，只需要按照下面的方式：1. 找到这个数字的平方根m=√m2. 找到不大于m的所有质数。3. 在一张自然数表上划掉所有质数的整数倍（质数本身不划掉）4. 把1划掉。5. 没有划掉的数字就是质数。例如，我们要找到100以内的所有质数，只需要按照下面的步骤进行：1. 计算100的平方根，是10。2. 10以内的质数有2、3、5、73. 划掉2、3、5、7的整数倍。首先划掉2的倍数，如4、6、8…、98、100，然后划掉3的倍数，如6、9、12、15、…、99， 重复的就不需要再划掉了。然后划掉5的倍数，7的倍数。4. 最后划掉1。5. 表中余下的数字就是质数。这个方法的依据是：如果一个数字是合数，那么它最小的质因子不会超过它的平方根。对于这个问题的证明我们依然可以使用反证法：如果所有质因子都大于它的平方根，两个质因子相乘就会比它大了。质数分布有规律吗？人们虽然可以通过这种方法获得质数表，但是数字一旦大起来，判断是不是质数就非常困难，人们只能使用已知的质数因子一个个去除，去尝试。例如费马数它有一个1187位的因子，还没有判断出来是不是质数。长久以来，人们一直希望发现质数的分布规律，最好能通过一个公式算出质数，或者能通过前面的质数计算出后一个质数。第一个获得突破的人是瑞士数学家欧拉。欧拉在研究级数求和的问题中，得到了一个著名的公式：欧拉乘积定理。这个公式并不难理解：左边的Σ表示求和，即把全体自然数n的s次幂的倒数求和。右边的Π表示乘积，而数字p是质数。如果我们把它展开成更加好认的形式，就是：这是多么美妙的式子！虽然自然数和质数都是无穷多个，但是全体的自然数和全体质数之间却有某种微妙的联系。不仅如此， 欧拉通过对质数的研究，发现了一个近似的规律：小于一个数x的质数个数π(x)大约可以用一个函数计算出来：lnx是一个对数函数。欧拉研究出这个内容之后，就去做其他工作了。毕竟欧拉涉猎的内容太广泛。于是，这个内容的接力棒就传到了另外一位数学巨匠高斯手中。素数定理在欧拉去世的时候，德国的数学巨匠高斯六岁。他最出名的应该是在小学的时候计算1+2+3+4+…+100的故事，但是他的贡献远远不止于此。高斯在数论、代数、统计、分析、微分几何、大地测量学、地球物理学、力学、静电学、天文学、矩阵理论和光学等方面均有巨大贡献，以高斯的名字命名的定律有110个，他和阿基米德、牛顿、欧拉并称为四大数学家。高斯小的时候，经常自己一个人研究数字。他经常随意的写出连续1000个数字，并找出中间的质数个数。他发现，开始的数字越大，这连续1000个数字中的质数越少。他用找出的质数个数除以1000，就得到了质数的“密度”。高斯发现这个密度大约可以用算式计算。这个结果与欧拉得到的结果接近，但又不完全相同。高斯得到这个结果后，并没有急于发表。因为高斯并不喜欢发表一些不成熟的结论，他向来要求自己的论文严格而优美。这样，这个机会就留给了法国数学家勒让德。勒让德在1798年提出：小于x的质数个数可以用下面的计算得到：其中的第一项积分式子称为Li(x)，而c是一个误差项。质数也叫做素数，而且勒让德提出这个问题的时候，并没有严格证明，所以称为素数猜想。勒让德提出素数猜想的荣誉保留了50年，然而在1849年，高斯在给他人的信中谈到：1792年他就已经提出了这个猜想。人们相信高斯，因为高斯经常这么干。我们把素数猜想计算的结果Li(x)，质数实际个数π(x)，以及欧拉计算的x/lnx画在一张图中，就会发现Li(x)的结果更加接近实际的素数个数。质数与黎曼猜想我们之前谈到：质数与黎曼猜想之间有着千丝万缕的联系。1896年，法国科学院举行比赛：征稿证明黎曼定理。两位年轻的数学家阿达马和德·拉·瓦莱布桑获得了这一殊荣。实际上这两位数学家并没有证明黎曼猜想，只是获得了一点进展，但是这一点进展就一举证明了欧拉和勒让德的猜想，把素数猜想变成了素数定理。黎曼猜想的威力可见一斑。1901年，瑞典数学家科赫证明：如果黎曼猜想被证实，那么素数定理中的误差项c大约是√xln(x)的量级。然而黎曼猜想到底是对是错？可能我们还需要等待许多年。即便黎曼猜想被证实，人们也只是在质数规律探索的过程中更近了一步，距离真正破解质数的规律，还有很长的路要走。也许质数就是宇宙留给人类的密码。 特别声明：以上内容(如有图片或视频亦包括在内)为自媒体平台“网易号”用户上传并发布，本平台仅提供信息存储服务。 Notice: The content above (including the pictures and videos if any) is uploaded and posted by a user of NetEase Hao, which is a social media platform and only provides information storage services. /阅读下一篇/ 返回网易首页 下载网易新闻客户端 相关推荐 热点推荐 上海连夜执法取证 同程数科副总：不认可315晚会内容 上观新闻 2024-03-16 10:59:39 15316 跟贴 15316 游客称在英遇隆重葬礼建筑降半旗 棺木被指是小孩棺木 缘木不求娱 2024-03-16 11:17:27 6664 跟贴 6664 国乒总教练李隼：王艺迪不适合继续参与奥运女单竞争 文汇报 2024-03-16 16:39:07 2185 跟贴 2185 美国太空探索技术公司成功发射23颗“星链”卫星 新华社 2024-03-16 11:49:07 50287 跟贴 50287 还敢吃什么？网友：看了今年315晚会，总结出15种不能吃的东西 六子吃凉粉 2024-03-16 16:41:38 20512 跟贴 20512 “研究出什么了”？被称“没啥用的学院”，10年里增加14倍惹争议 跳妈谈教育 2024-03-16 14:34:49 5193 跟贴 5193 315曝光卖5万多元的听花酒：凉味剂是常见薄荷提取物 央视财经 2024-03-15 20:51:23 9074 跟贴 9074 江苏一烧烤店爆炸 跑出来的男子皮肤烧焦衣服都烧烂了 触视角 2024-03-16 20:07:57 5611 跟贴 5611 看完了315，我做了以下决定：不喝奶茶，不点外卖，不买水果切 十三级台阶 2024-03-16 07:20:39 2 跟贴 2 28所高校在汉成立“长江中游城市群高校马克思主义学院建设联盟” 极目新闻 2024-03-16 13:06:32 6366 跟贴 6366 重磅！瑞士银行将把85亿美元俄资产捐给乌克兰！ 随风而飞 2024-03-16 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的素数个数（当然，这里的素数就是通常说的素数，是正的素数。你也许会看到某些书上-2，-3，-5也是素数，我们不管它。）不过，在间断点用左右平均代替更好，重新定义：\pi(x)=\frac{1}{2}\left(\sum_{p< x}1+\sum_{p\leq x}1\right) 也就是x恰好为素数时，先计数半个，超过了再加上另外半个。除了下文的显式公式外，这个区别并不重要。令\Pi(x)=\sum_{n}\frac{1}{n}\pi(x^{1/n}) 有莫比乌斯反转\pi(x)=\sum_{n}\frac{\mu(n)}{n}\Pi(x^{1/n}) 其中\mu(n)=\begin{cases} 1& \text{n是偶数个不同的素数相乘}\\ -1& \text{n是奇数个不同的素数相乘}\\ 0 & \text{n被某个素数的平方整除} \end{cases} 虽然是无穷级数，不过对固定的x，实际的求和项总是有限的。黎曼zeta函数 \zeta(s) ，这里略去它的定义。总之，它有很多零点，比较“显然”的是负偶数为零点，称为平凡零点；其余的零点为非平凡的零点，集中在0 论素数分布规律及哥德巴赫猜想成立的证明 - 知乎首发于数论研究切换模式写文章登录/注册论素数分布规律及哥德巴赫猜想成立的证明雪珂随笔数学家论素数分布规律及哥德巴赫猜想成立的证明原创：王保平 （数论研究文献，严禁剽窃转载）一、素数分布的基本规律（一）、素数分布的基本规律：素数离散分布于自然数无穷数列之中，指定范围内素数个数称作π(x)，根据素数定理指定范围内素数的计数公式为：π(x)~x/ln(x)；这是一个较为粗略的计数公式，但确是研究素数分布最基本的定理。指定范围内素数出现的概率为：1/ln(x)。ln(x)实际涵义是指定范围内相邻素数的平均间距，可用t(x)表示；指定范围x与π(x),t(x)的逻辑关系：x=π(x)*t(x)。（二）、t(x)=ln(x),素数的动态平均间距呈现对数级别的增长，是素数分布最本质的规律。因为对数级增长是甚为缓慢而稳定，而且具有可预见性。指数级乘法规律转化为对数（以e为底的自然对数）的加法规律，这样是素数分布特有的规律。显见：ln(x^k)=k*ln(x)，其实是转化为k个ln(x)的连续相加之和。如: ln(x^2)=2*ln(x)=ln(x)+ln(x) Ln(x^3)=3*ln(x)=ln(x)+ln(x)+ln(x), 依次类推。或者：ln(a*b)=ln(a)+ln(b) Ln(a*b*c)=ln(a)+ln(b)+ln(c), 依次类推。（三）、因t(x)~ln(x)~x/π(x),仅仅是一个粗略的近似值，ln(x)存在提高精确程度的空间，黎曼猜想的本质就是求取li(x)或ln(x)对于真值的误差项。如能求得较为精确的t(x)值，则可以更为准确地估计素数分布状况。可设：t(x)=ln(x)-ε；其实ε即勒让德常数，经证明极限为无穷大的时候：ε=1。 所以，素数平均间距的真值t(x)可表示为：t(x)=ln(x)-1 相应的我们可以得出更为精确的素数计数公式：π(x)=x/t(x)=x/[ln(x)-1]（四）、等式：ln(x^k)=k*ln(x)的意义可以解释为，x^k内相邻素数的平均距离等于x内相邻素数平均距离的k倍。显然，这是一个非常重要的素数分布规律。例如：k=2时，ln(x^2)=2*ln(x), K=3时，ln(x^3)=3*ln(x), K=4时，ln(x^4)=4*ln(x), 以此类推：ln(x^k)=k*ln(x)；显见，x^k范围内，相邻素数的平均间距，等于x内素数平均间距的k倍，或者说，连续k个ln(x)相加之和。我们把{0→x}称为初始区间，可见x^k范围内素数的平均间距t(x)的数值，取决于初始区间x的数值，也即ln(x)的数值。最常见也是最重要的幂指数2是素数分布研究的关键因素，因x^2范围内的素数判别，取决于√x内的素数；如{√x→x}范围内任意数如不是√x内素数的整数倍，则这个数必定是素数。显然，初始区间{0→√x}内素数的分布状况决定这后继区间{√x→x}内素数的分布状况；由于ln(x^2)=2*ln(x)，同理ln(x)=2*ln(√x)；我们可得出一个关于素数分布的结论：平方数范围内，后继区间素数的平均间距等于初始区间的2倍，或者说后继区间素数的密度等于初始区间的1/2。同时，我们可推导出x^2范围素数计数公式：π(x^2)=x^2/2ln(x)=π(x)*x/2。（五）、1/ln(x)和筛函数∏(1-1/p)具有等价性，也即：1/ln(x)=∏(1-1/p)。同理：ln(x)与∏[p/(p-1)]也具有等价性，可知：ln(x)=∏[p/(p-1)]。P的取值范围：2≦p<√x。因此，ln(x)的数值可定义为指定范围内筛取素数的动态模孔，确保该范围内的素数均可以无遗漏地筛选出来。Ln(x)是素数平均间距的动态估计值，充分说明了素数的增长具有平稳的对数规律。X至x^2范围ln(x)同步增加为2ln(x)，密度则约为原来的1/2。（六）、指定范围{0→x}内可用1/ln(x)筛取该区间内任意不同区段的素数个数，因ln(x)是该区间任意区段统一的筛函数模孔。所以长度为ln(x)的区段是出现1个素数的平均长度。其下限为2，上限为该区间内允许的最长连续合数。二、自然数的对称结构及哥猜的等价命题 （一）、自然数的对称结构自然数包括0和正整数两个部分，是以0为起点的定向射线，同时是以单位1为公差的无穷等差数列。根据等差数列的基本属性，任意大于1 的自然数n，以n为中心至2n范围内：{0→n→2n}，n点两侧所有数位皆关于n点对称。哥德巴赫猜想证明涉及的区间实际上是一个闭合区间：{0→2n},无论2n有多大，总是有个中心点n存在，且必然构成两个等值的对称区间，不妨称之为前部区间用x表示；与之协同变化的后部区间用y表示；则有：x∈{0→n}，y∈{n→2n}；同理：x+y∈{0→2n}；x+y涉及的区间就是哥德巴赫猜想中素数对存在的区间。不妨设x区间内的素数为p(x), y区间内的素数为p(y); 同时：x区间内所有素数个数为π(x), y区间内的所有素数个数为π(y)。{0→n}内素数个数π(n)=π(x); {0→2n}内素数个数：π(2n)=π(x)+π(y)。根据伯特兰-切比雪夫定理，对于大于3的自然数n，在y区间{n→2n}至少存在1个素数p(y),使得：n 质数分布有没有规律？ - 知乎首页知乎知学堂发现等你来答切换模式登录/注册数学数论素数解析数论素数定理质数分布有没有规律？哪位大神能谈谈质数有啥分布规律。像费马平方和定理算不算一个质数分布规律。显示全部 关注者98被浏览190,325关注问题写回答邀请回答好问题 910 条评论分享40 个回答按时间排序未来的kimutaku我是广东长大的湖南人所以我天生革命 关注有规律，但是没有统一规律。编辑于 2024-02-29 14:29赞同添加评论分享收藏喜欢收起余商我是2013 年度资深翻译家，部队转业。现已退休。 关注素数分布可能有规律，但是我没有找到，我只找到素数的通项公式：1.循环素数的通项公式：p=2/9Sp+1；对任何循环素数都适用。可除尽素数通项公式：2/10Sp+1可除尽素数只有2和5，都都适用。Sp是商位和。发布于 2024-01-04 13:04赞同添加评论分享收藏喜欢 素数分布的规律是什么? - 知乎首页知乎知学堂发现等你来答切换模式登录/注册数学素数分布的规律是什么?关注者16被浏览10,741关注问题写回答邀请回答好问题添加评论分享7 个回答默认排序匿名用户你这个问题，在数吧是要删帖的:公然提问世界难题编辑于 2017-11-15 15:49赞同 1添加评论分享收藏喜欢收起雪珂随笔数学家 关注素数分布研究（一）（原创，禁止转载）一、素数产生的原理大于1的自然数只分为2种：素数及合数，即一个自然数如果不是合数那么一定是素数；由此推导出了算数基本定理：任何大于1的自然数都可以唯一分解成有限个素数的积。任何合数都可以用素数的乘积来表示：n=2*3*5*p(n)。素数p是以其自身长度为单位连续相加递增数列的首项；其构建合数的模式是：F(p)=n*p={p,2p,3p,4p,5p,6p,,,,,,,n*p}; 该数列呈现周期性，重合在自然数数列中。自然数分为奇数和偶数，所有的偶数m可视为素数2构建的合数集合；占据了自然数一半的数位。最小的奇素数是3，依次是5、7、11、13等，素数越小其形成的合数出现的频率越高，出现的周期越小。我们的研究对象是奇合数，每一个大于2 的素数都是一个奇合数数列的起点；于是有奇合数集合：f(3)、f(5)、f(7)、f(11)、、、、、、f(p)。奇合数的周期起点均为p^2，我们可以推导出其通项公式。合数及奇合数的延拓公式： 一、根据奇合数通项公式：f(qn)=p^2+2p*n。可得出最初几个奇合数公式：1、f(3)=9+6n，2、f(5)=25+10n，3、f(7)=49+14n，4、f(11)=121+22n，等以此类推各个集合都可以是独立的等差倍增数列。二，奇合数通项公式还可加以变形推导：f(qn)=p^2+2p*n=p(2n+p)。即素数和等于或大于它本身的奇数相乘而得的数列集合。例如：f(3)={9,15,21,27,33,39,45,51,57,63,69,75,81,87,93,99}。100以内共有16个，公差d=6。f(3)=(100-3)/6=16。f(5)={25,35,45,55,65,75,85,95}。100以内共有9个，公差d=10。 f(5)=(100-5)/10=9。f(7)={49,63,77,91}。100以内共有4个，公差d=14。f(7)=(100-7)/14=4。根据容斥定理100内奇合数个数为：f(3)∪f(5)∪f(7)-f(3)∩f(5)-f(3)∩f(7)=16+9+4-2-2=25。则100以内素数的个数为：f(p)=f(q)-f(qn)=50-25=25。奇合数的公差最小为6,而奇数数列的公差为2,所有奇合数数列除去重合的部分叠加在一起永远无法占满所有的奇数数位，这就是素数存在的基本原理，素数可以理解为奇合数叠加后的剩余数位补充。二、奇合数与素数的区间分布规律 奇合数与素数区间分布规律：一，奇合数产生于素数的平方以及其与大于自身的奇数相乘之积。公式为：p^2+2pn=p*(p+2n)。从形数上分析可以理解为某一素数p在以自身数值构成一个正方形，然后在此基础上向外拓展空间。所以素数或者其它自然数的平方数之间就是素数存在的空间。二，奇合数公式既包涵了空间因素也包涵了时间因素，空间因素就是素数的平方，时间因素就是其中的变量n，n的取值范围：{0,1,2,3,4,5……n}。奇合数的产生既有空间限制也有时间限制，在指定范围内的数量和位置都被限定。三，根据奇合数公式：f(3)=9+6n，当n=0时，产生第一个奇合数9，依次是15,21。在25之前只产生这3个奇合数，而25之前的奇数数位有12个，那么剩下的9个数位只能是由素数补充了。则有集合:f(p)={1,3,5,7,11,13,17,19,23}。可见在较小范围内素数比较奇合数是占有优势比例的。素数的产生是必然事件而非偶然事件，甚至不是概率事件。四，素数的不规则递增的原因就在于奇合数的产生具有不规则不对称性，我们把100以内的奇合数集合列出就会明白:f(q100)={9,15,21,25,27,33,35,39,45,49,51,55,57,63,65,69,75,77,81,85,87,91,93,95,99};共25个，并且是素数3,5,7形成的奇合数，越往后密度越大。五，奇合数产生受最小间距的限制，比如f(3)的最小间距是6，f(5)则是10，f(7)则达14，显然是不均衡，不对称的，即使它们叠加在一起也无法占满全部的奇数位，因为奇数位的公差恒为2，这就是素数产生和存在的理论基础。六，我们得不到能产生全部素数的所谓通项公式，但能找到产生全部奇合数的系列公式。但某些公式可以包括全部素数比如奇数公式：2n-1，另外，6n∓内包括了全部的素数。三、平方数区间素数分布规律任意自然数n与其后继数n+1存在对应的平方数n^2及(n+1)^2,两个对应的平方数之间存在一个逐级递增的距离：(n+1)^2-n^2=2n+1；所有的平方数都是特定的周期合数n^2，从1开始依次构建平方数集合：f(n^2)={1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，，，n^2}。把这些自然数的平方数看做数轴上线性分布的点，那么所有的素数无疑均分布与这些连续递增的点之间的距离之间。2n+1的长度显然是连续递增的奇数集合：{1、3、5、7、9、11、13、15、17、19、21、23、、、、、、、2n+1}。显然：1、每个区间均存在至少2个素数；2、随着区间长度的增加，素数的分布呈现连续递增的趋势。素数在平方数所构建的区间，连续累积而递增成指定范围内素数的总量；任意自然数n内存在平方数的数量为√n。平方数区间素数分布表：N^2(n+1)^22n+1P(n)0110143249529167216259325361123649134496415364811748110019310012121512114423414416925516919627519622529422525631625628933728932435532436137636140039640044141744148443748452945752957647657662549962567651867672953772978455878484157984190059890096161896110246310结论分析：1、n^2→(n+1)^2区间的素数至少有2个；且素数个数与差值2n+1的连续递增成正比关系。2、N^2内有n个平方数构建的连续区间，除{0→1}外，每个区间均存在素至少2个素数。3、N^2内素数的个数取决于n内素数及合数的个数。4、素数分布于连续平方数n^2至(n+1)^2之间2n+1长度的延拓地带，每个区间均有至少2个素数存在，且呈现连续递增的趋势。四、数学归纳法证明n^2→(n+1)^2区间必有素数一，自然数n是从1开始的无穷递增等差数列集合，有最小数而无最大数，根据数学归纳法的基本原理，在最小或较小区间内都成立的结果，在较大或极大区间内理应继续成立。二，上述猜想n^2→(n+1)^2必有素数，可以先从最小值1开始验证：因1=1^2,则有：(1+1)^2=4,因而：1→4,形成自然数第一个平方差区间，此区间只有两个数：{2,3},初始数位无任何合数存在的可能，故必是素数。2,3做为基本素数是构成无限合数的基本元素。三，继续验证素数2,3形成的平方数区间：2^2→3^2形成的区间是{4→9},里面的数字集合是：{5,6,7,8,}共有4个数位，两个偶数位，两个奇数位，素数3只以自身的平方构成第一个奇合数9,故{5,7}必为素数。我们已经得出结论：素数是奇合数形成奇数位补充。因任何区间奇数位和偶数位大致各占1/2。奇数位如果不是奇合数则必是素数。四，继续验证{3,4}形成的平方数区间：9→16形成区间数集合：{10,11,12,13,14,15}，此区间有3个奇数位，15=3*5是唯一的奇合数，故11,13必是素数。我们已经得出结论素数3构成奇合数的最小间距是:3*2=6，即素数构成奇合数的最小间距是自身数值的2倍，即d(x)=2*p。这对奇合数的形成构成了秩序，位置，数量上的绝对限定。五，归纳总结n^2与(n+1)^2之间的基本关系：1,(n+1)^2=n^2+n+n+1,也就是等于n^2加这两个相邻数之和。2,n+n+1=2n+1,2n+1即是一个奇数，且是以2为公差无限递增。3,n^2→(n+1)^2区间必有2n个数位，奇数位有n个，由于n^2及(n+1)^2内的奇合数的数量和位置决定于{0→n}区间内的有限素数，此区间的素数:p≤n/2.区间内素数最多生成的合数也必：q≤n/2.基于上述分析：n^2→(n+1)^2区间必有素数，且至少有2个素数。发布于 2022-08-01 17:29赞同 3添加评论分享收藏喜欢 奇妙的素数（1） ——素数定理 - 知乎首发于数字人生切换模式写文章登录/注册奇妙的素数（1） ——素数定理刘升平学数学的，但忘的差不多回小学了。素数的作用很大，我们生活中息息相关，素数的谜团也很大，一直期待人们完全揭开。 网络中不但有很多“民科”物理学家，“民科”化学家，也活跃着很多“民科”数学家，当然这里指的“民科”是那些没有经过正规的专业知识培养，全凭三分钟热血，就脑洞大开的胡思乱想的人士。 素数又被称为质数，就是大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数。比如2=1×2；5=1×5；23=1×23；……所以2、5和23就是素数。但6=1×6=2×3，即6除了1和自身6外还有其他因数2和3；8=1×8=2×4，所以8也不是素数。依此定义2，3，5，7，11，13，17，19……都是素数。（1）素数的定义 素数又被称为质数，就是大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数。比如2=1×2；5=1×5；23=1×23；……所以2、5和23就是素数。但6=1×6=2×3，即6除了1和自身6外还有其他因数2和3；8=1×8=2×4，所以8也不是素数。依此定义2，3，5，7，11，13，17，19……都是素数。 那素数有没有尽头呢？就是有没有一个最大素数存在呢？欧几里得（公元前330年~公元前275年，古希腊人，数学家）在他的经典著作《几何原本》里就给出了一个很巧妙的反证法证明（不想看可以略过）：（假设素数是有限的，总共只有n个，最大的一个素数是p，设Q为所有素数之积加上1，即Q=（2×3×5×…×p）+1，显然Q比p大，按照假设则Q不是素数，那Q就应该有除了1和自身之外的其他因数，或者说成可以被2、3、…、p中的某一数整除，而Q不管被这2、3、…、p中哪一个数整除都会余1，这又说明Q不能被2、3、…、p整除，互相矛盾．所以素数是无限的．） 既然素数是有无穷多个，那下一个问题就是数学家想弄明白的，素数的分布是否有规律呢？通过计算可以知道素数越大就会越稀少，就是顺着自然数数下去，当数越来越大时，素数出现的机会越来越稀少，可能连续出现两个三个的，然后很久都不会出现，但最后总是会出现。感觉看起来毫无规律可言，所以以前的数学家估计对素数的规律是充满了绝望。图中是把从1开始的自然数螺旋排列，标记出的就是素数，这个图越往外，数越大，素数出现的越稀疏。（2）费马数 正是因为素数的出现毫无规律可言，所以历史上关于素数的猜想也是很多，有正确的，也有错误的，也有悬而未决的。 17世纪法国业余数学家，别看人家冠以业余的称呼（没受过系统的专业教育），但他的风光都盖过同时代法国的专业数学家了，费马发现2^(2^n)+1这个形式（后人称为费马数），当n=0,1,2,3,4时，分别对应的数是3，5，17，257，65537都是素数。n=5这个数太大了，当时的条件很难完成，于是他猜想2^(2^n)+1这个形式对应的数都是素数。后来人们算出来n=5时，这个数是4294967297=641×6700417，显然n=5不是素数，后来有了计算机后，人们通过大量的计算，发现已知的n大于等于5对应的数都不是素数。（3）素数定理把正整数用极坐标表示时，去除素数对应的点，会有很奇妙的形式出现。后来的数学家把希望放在寻找大致的一个出现概率（分布密度）上，例如：1~10中有四个素数2、3、5、7，素数占全体数的比例是40%；1~100中有25个素数，素数占全体数的比例是25%；1~1000中有168个素数，素数占全体数的比例是16.8%；1~100万中有78498个素数，素数占全体数的比例是7.84%；前1亿个数，素数占全体数的比例是5.76%；前100万亿个数，素数占全体数的比例是3.2%左右，等等。函数中有这样的一个函数y=1/ln(x)（以e为的对数的倒数，其中e≈2.71828…），x=100时，y=21.7%x=1000时，y=14.5%x=100万时，y=7.24%x=1亿时，y=5.43%x=100万亿时，y=3.1%N越来越大，两个数的相对差距也越来越小。 感觉是不是越来越接近，其实当x继续变大时，这两个数的差距越来越小，最后这个差趋于0。后来经过欧拉、高斯、黎曼等等很多光环加身的大数学家不断完善和发展，一直到19世纪末，数学家才证明了与此相关的著名的“素数定理”。 介绍这个定理前，首先定义一个π(x)符号，就是表示小于或等于自然数x的所有素数个数，例如通过前面介绍的可知道 π(100)=25，π(1000)=168 去除极限写法，这个定理的简单表示就是：当x趋于无穷大时，π(x)和x /ln(x)这两个数的比值趋于1 人们欣喜若狂的发现，一个看似杂乱无章的素数，其密度分布竟然有一个函数趋近对应，当然这个函数还有很粗糙的，x若不是很大很大，他们之间的差距还是不小。黎曼（波恩哈德·黎曼，公元1826~1866年，德国著名的数学家）1859年给出的黎曼猜想更进一步精确的给出了大素数分布的函数表达，有兴趣的可以自行百度了。黎曼猜想也是当今数学界中非常迫切需要证明但又无人证明的猜想，若此猜想被证明，会有一大批重要的命题升级为定理，若此猜想被否定，同样要埋葬一大批人的心血之作。发布于 2018-05-25 16:32初等数论素数赞同 576 条评论分享喜欢收藏申请转载文章被以下专栏收录数
素数分布_百度百科
_百度百科 网页新闻贴吧知道网盘图片视频地图文库资讯采购百科百度首页登录注册进入词条全站搜索帮助首页秒懂百科特色百科知识专题加入百科百科团队权威合作下载百科APP个人中心收藏查看我的收藏0有用+10素数分布播报讨论上传视频数学术语本词条由“科普中国”科学百科词条编写与应用工作项目 审核 。素数分布是数论中研究素数性质的重要课题。素数或称质数，是指一个大于1的整数，除1和它本身外，不能被其他的正整数所整除。研究各种各样的素数分布状况，一直是数论中最重要和最有吸引力的中心问题之一。中文名素数分布外文名distribution of prime numbers作 用数论中研究素数性质目录1简介2猜想▪孪生素数猜想▪梅森素数分布▪素数定理▪算术级数中的最小素数▪相邻素数之差简介播报编辑大约在公元前300年，欧几里得就证明了素数有无穷多个。设2,3,…,p是不大于p的所有素数，q=2*3*…*p+1。容易看出q不是2，3，…，p的倍数。由于q的最小正除数一定是素数，因此，或者q本身是一个素数，或者q可被p与q之间的某两个素数所整除[比如：2*3*5*7*11*13+1=30031=59*509]。所以必有大于p的素数存在，由此即知素数有无穷多个。素数在自然数中占有极其重要的地位，但是它的变化非常不规则。最初的研究方法，是通过观察素数表来发现素数分布的性质。现有的较完善的素数表是D.B.扎盖尔于1977年编制的，列出了不大于50000000的所有素数。从素数表可以看出：在1到100中间有25个素数，在1到1000中间有168个素数，在1000到2000中间有135个素数，在2000到3000中间有127个素数，在3000到4000中间有120个素数，在4000到5000中间有119个素数，在5000到10000中间有560个素数。猜想播报编辑孪生素数猜想两个差等于2的一对素数,称为孪生素数。例如,3和5；5和7；11和13；17和19；29和31；41和43；59和61；71和73；101和103；…10016957和10016959；都是孪生素数。迄今所知的最大孪生素数是1159142985×2-1和1159142985×2+1；它们是A.O.L.阿特金和N.W.里克特于1979年得到的。所谓孪生素数猜想，即存在无穷多对孪生素数。这个猜想至今没有解决，但认为它是正确的可能性很大。梅森素数分布2^P-1型的数称为梅森数，并以Mp记之；而 2^P-1型的素数称为梅森素数。这种特殊素数貌似简单，但探究难度却极大。它不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而且还需要进行艰巨的计算。梅森素数历来是数论研究的一项重要内容，也是当今科学探索的热点和难点之一。2013年2月6日，据英国《新科学家》杂志网站报道，柯蒂斯·库珀(Curtis Cooper)领导的研究小组于1月25日日发现了已知的最大梅森素数--“2^57885161-1”，该素数有17,425,170位，它是目前已知的最大素数。如果用普通字号将这个巨数连续写下来，其长度可超过65公里！迄今人们已经发现48个梅森素数。 [1]1772年，有“数学英雄”美名的瑞士数学大师欧拉在双目失明的情况下，靠心算证明了2^31-1(即2147483647)是第8个梅森素数。这个具有10位的素数，堪称当时世界上已知的最大素数。在“手算笔录”的年代，人们仅找到12个梅森素数。而计算机的诞生和网格技术的出现，加速了梅森素数探究的进程。1996年初，美国数学家、程序设计师乔治·沃特曼编制了一个梅森素数计算程序，并把它放在网页上供全球数学家和业余数学爱好者免费使用。它就是举世闻名的GIMPS项目。为了激励人们寻找梅森素数和促进网格技术发展，总部设在美国的电子新领域基金会（EFF）于1999年设立了专项奖金悬赏参与GIMPS项目的梅森素数发现者。它规定向第一个找到超过100万位数的个人或机构颁发5万美元。后面的奖金依次为：超过1000万位数，10万美元；超过1亿位数，15万美元；超过10亿位数，25万美元。不过，绝大多数人参与该项目并不是为了金钱，而是出于好奇心、求知欲和荣誉感。梅森素数的分布极不规则。探索梅森素数的分布规律似乎比寻找新的梅森素数更为困难。数学家们在长期的摸索中，提出了一些猜想。英国数学家香克斯、美国数学家吉里斯、法国数学家托洛塔和德国数学家伯利哈特就曾分别给出过关于梅森素数分布的猜测，但他们的猜测有一个共同点，就是都以近似表达式给出；而它们与实际情况的接近程度均未尽如人意。中国数学家及语言学家周海中经过多年的研究，于1992年首次给出了梅森素数分布的精确表达式，为人们寻找这一素数提供了方便；后来这一重大成果被国际上命名为“周氏猜测”。美籍挪威数论大师、菲尔茨奖和沃尔夫奖得主阿特勒·塞尔伯格认为：周氏猜测具有创新性，开创了富于启发性的新方法；其创新性还表现在揭示新的规律上。 [2]素数定理关于素数个数的研究是素数分布中最重要的问题之一。以 π(x)表示不大于x的素数个数，例如，π(2)=1，π(3)=2，π(100)=25，π(1000)=168。欧几里得早就证明了素数有无穷多个，即。从表可以看出：①x越大,π(x)与x的比值越接近于0；②x越大,π(x)与x/lnx的比值越接近于1。A.-M.勒让德和C.F.高斯猜测即通常所称的素数定理。它是素数分布理论的中心定理。在这方面首先做出贡献的是∏.Л.切比雪夫，他在1852年左右证明了存在两个正常数с1,с2，使得不等式с1x/lnx≤π(x)≤с2x/lnx成立，其中x≥2。在1896年，J.（-S.）阿达马和C.瓦莱·普桑彼此独立而又几乎同时证明了素数定理。他们的证明都使用了高深的复变函数论知识。因此，能否以尽可能初等的方法来证明素数定理，则成为数学家一直探讨的重要问题。1949年，A.赛尔伯格和P.爱尔特希给出了素数定理的初等证明，除了极限、lnx和e的性质之外，没有用到其他的分析知识，但证明过程十分复杂。他们的证明是基于赛尔伯格的著名恒等式：当x≥1时有式中，表示对所有不超过x的素数求和，记号O的定义如下：设g(x)>0,ƒ(x)为一复值函数, α≤x≤b)。若存在一个与x无关的正常数M,使得当α≤x≤b)时有|ƒ(x)|≤Mg(x),则记为ƒ(x)=O(g(x)),M称为记号O所含之常数。于是某一满足上述条件的函数ƒ(x),就可用O(g(x))代之。有误差项的素数定理是指寻求误差π(x)-lix的最佳估计,,它比x/lnx更接近于π(x)。C.瓦莱·普桑于1900年首先证明了这里с是一正的常数。H.von科赫于1901年在黎曼假设（见黎曼ζ函数）下证明了O(xlnx)。И.М.维诺格拉多夫等于1958年借助于他的三角和估计方法,得到π(x)-lix=O(xexp(-с(lnx)))，ε为任意正数，с是和ε有关的正常数。误差项π(x)-lix的变化是极不规则的。设ƒ(x)是实函数，如果存在与x无关的正常数α，使得任意大的x满足ƒ(x)>αx，则记为ƒ(x)=Ω(x)；若使得任意大的x满足ƒ(x)<- αx，则记为ƒ(x)=Ω-(x)。若这两种情形同时出现，则记为ƒ(x)=Ω(x)。J.E.李特尔伍德于1914年证明了：当x→∞时，有π(x)-lix=Ω((xlnlnlnx)/lnx)。算术级数中的素数定理 P.G.L.狄利克雷于1837年首先证明了首项与公差互素的算术级数中有无限多个素数。设整数q≥3.1≤l≤q，(l,q)=1。以π(x,q,l)表首项为l、公差为q的算术级数中不超过x的素数之个数。类似于素数定理，对于固定的q，容易证明： 式中φ(q)表示不超过q且与q互素的正整数的个数。这就是通常所说的算术级数中的素数定理。关于误差项估计，A.佩奇于1935年和C.L.西格尔与A.瓦尔菲施于1936年证明了：对任意正数h，当3≤q≤(lnx)时，有式中с为绝对正常数；记号O中所含的常数仅与h有关，而与q无关。算术级数中的最小素数设k≥3，1≤l≤k，(l,k)=1。以p(k,l)表算术级数knl(n=0,1,2,…)中的最小素数。S.乔拉猜测p(k,l)=O(k)，其中ε为任意小的正数。ю.Β.林尼克于1944年首先证明了存在绝对常数с，使得p(k,l)=O(k)。潘承洞于1957年首先指出с是可以计算的，并定出了с的值。目前最好的结果с≤17是陈景润于1979年得到的。相邻素数之差设pn是第n个素数，是相邻的两个素数之差。在黎曼假设下,H.克拉默于1921年证明了无条件结果是赫斯－布朗和H.伊瓦尼克于1979年得到的。另一方面，关于dn的下界，E.邦别里和H.达文波特于1966年证明了：M.N.赫胥黎于1977年改进为E≤0.4425。猜测应有E=0。关于dn还有许多有趣的研究。新手上路成长任务编辑入门编辑规则本人编辑我有疑问内容质疑在线客服官方贴吧意见反馈投诉建议举报不良信息未通过词条申诉投诉侵权信息封禁查询与解封©2024 Baidu 使用百度前必读 | 百科协议 | 隐私政策 | 百度百科合作平台 | 京ICP证030173号 京公网安备110000020000走近黎曼猜想（二）:质数的分布有什么规律？|高斯|素数|自然数_网易订阅
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素数的分布 – 整除和素数 – Mathigon
布 – 整除和素数 – Mathigon请在浏览器中启用 JavaScript 以访问Mathigon。跳过导航Ploypad课程活动课程登入创建新帐户课程Ploypad活动课程计划暗模式更改语言 更改语言English中文DeutschRomânăTürkçe 登录到MathigonGoogleMicrosoft要么电子邮件或用户名密码新账户 重设密码 登入整除和素数因子和倍数整除规律素数(又叫质数)素数的分布最小公倍数最大公约数分享词汇表重置进度 分享 重置进度这将删除您在本课程中所有章节的进度和聊天数据，并且无法撤消！立即重置 词汇表选择左侧的一个关键字...整除和素数素数的分布阅读时间: ~5 min显示所有步骤检测素数的最简单方法是，尝试用所有比它小的数去整除它。计算机能非常快速而有效的做这个 工作。即使对于有着数百位的__非常__大的数，也存在许多高效的算法。甚至其中一些 算法是利用概率来__近乎确定__的测定一个数是否为素数。这是一个可以让你检查任何数字是否是素数计算器:素数检测程序${result} 纵观历史, 人们试图不断的找到越来越大的素数。在1460年，已知的最大素数是13,1071。 在1772年, 莱昂纳多·欧拉展示了2,147,483,647也是素数。随着20世纪计算机的到来，计算大素数变得容易多了。目前我们知道的最大素数是在 2018年12月发现的，而且它有24,862,048位数。你需要8000张纸才能把它完整打印出来！ GIMPS（伟大的互联网梅森素数研究）是一个协作项目，志愿者可以使用 免费软件寻找数素。 计算求解这些大素数也许看来像在浪费时间，但是在这堂课程后面你将了解到各种实际 应用程序，其中的计算机必须使用大素数。这里可以按照指定的位数生成你自己的大素数：素数生成器位数: ${d}生成${result}乌拉姆螺旋波兰数学家斯坦利斯·乌拉姆在1963年的一个_又长又无聊_的会议上涂鸦时， 想到了个很酷的方法来展示大素数的分布.37363534333231381716151413303918543122940196121128412078910274221222324252643444546474849我们把所有数字写在一个矩形格子中，从中间以1开始，然后向外螺旋展开。然后我们 加亮突出显示所有的素数。到目前为止，乌拉姆螺旋线看起来并不特别令人兴奋。但如果我们缩小，有趣的模式就 会出现。这是高达160,000时素数的分布样子: 正如人们所期望的那样，某些对角线似乎比其他对角线更受素数欢迎，而不是随机出现。 这创造了一个奇怪的“格子”图案。结果表明，这些对角线都对应于某些二次方程，这些方程似乎比平均数生成 素数的频率更高。然而，尚不清楚为什么会是这样... 1964年3月版《科学美国人》的封面 哥德巴赫猜想在1742年, 德国数学家克里斯蒂安·哥德巴赫 遇到一个奇怪的发现: 他注意到所有的偶数(2除外)都可以被写成两个素数的和。例如：8 = 5 + 3 和 24 = 13 + 11. 这是非常令人惊讶的，因为素数是用乘法和因子定义的，不应该与加法有太多关系。哥德巴赫计算器任选一个偶数，算算它如何被写成两个素数的和.${result}哥德巴赫在给著名数学家欧拉的一封信中写到了他的观察结果，但两位 数学家他们都无法证明这一点。它被称为__哥德巴赫猜想__。计算机已经检查了哥德巴赫猜想对每一个最大可达4×1018(这是一个4后面18个 零)的偶数都有效，但数学家们仍然没有找到它对_所有_偶数都有效的证明。这是一个很大 的区别，因为有无限多的整数，所以我们不可能检查所有的整数。其明显的简单性使哥德巴赫猜想成为数学中最著名的未解决问题之一。孪生素数我们已经清楚素数随着整数变大而分散得越来越开。但它们总是看起来像完全随机的，偶 尔我们还会发现两个素数紧挨着，就像一个整体：它们被称为__孪生素数__。35,1113,4143,101103,20272029,108,377108,379,1,523,6511,523,653已知最大的一对孪生素数有惊人的58711位！但是有无限多的孪生素数吗，就像有无限多的 素数一样？没有人知道答案 -- __孪生素数猜想__是围绕着素数的许多未解决问题中的另一个。黎曼猜想数学家们花费了许多个世纪来探索素数的模式和分布。它们看起来完全是随机的——有时连 续的素数之间有巨大的间隙，而有时我们又会发现紧挨着的孪生素数。当德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯15岁的时候，他有了一个开创性的新 想法：他把素数个数计算到某一点，并将结果显示在图表中：沿x轴可以看到所有整数。当有素数时，_{.m-blue}素数计数_增加1。当我们缩小图时，蓝线变得非常平滑。高斯注意到这个函数的形状看起来和函数xlog(x)非常相似. 他预言这两个函数总是“近似相似”， 这在1896年得到了证明。然而，正如您在上面看到的，在实际素数和高斯近似值之间仍然有一个很大的误差。 1859年，数学家伯恩哈德·黎曼发现了一种看起来更好的近似方法， 但他无法证明这种方法总是有效的。他的想法被称为__黎曼猜想__。数以百计的数学家试图证明黎曼猜想，但都没有成功。它通常被认为是数学中最困难和 最重要的未解决问题之一。2000年，克莱数学研究所称它为六个千年奖难题之一, 并承诺给任何解决这个问题的数学家100万美元奖励。要显示更多内容，您必须完成以上所有活动和练习。 你被卡住了吗？ 跳到下一步 要么 显示所有步骤接下来：最小公倍数 Archie奇妙的素数（1） ——素数定理 - 知乎